两片看起来透明的薄片，为什么叠在一起会近乎不透光？
亮度和颜色是熟悉的光的性质。偏振带来另一项：电场振动的方向。一对理想偏振片，可以把这个看不见的方向变成亮度变化。再加第三片，结果更加意外，但前提是认真追踪每片滤片改变了什么。
滤片会改变到达下一片的光。
沿着传播方向之外的方向
光是电磁波。对于自由空间中的平面波，电场沿垂直于传播方向的方向振动。线偏振光的振动沿一个固定的横向方向进行。理想线偏振片的透射轴，选择与自身方向对齐的电场分量。
可以把它想象成把箭头投影到一条线上。线与箭头越偏离，保留的分量越小；垂直时，分量为零。但箭头表示的是电场幅度，而亮度计算使用光强。在这里的波动条件下，光强与幅度的平方成正比。
平方决定曲线形状
马吕斯定律说，透射光强等于入射线偏振光强，乘以相对角度余弦的平方。两轴平行时，理想模型让全部输入通过；相差45度时，保留一半；相差90度时，理想计算结果为零。
图中所有输出，都以已经穿过第一片偏振片的光为基准。这个参照很重要。说45度检偏器透过一半，不代表最初非偏振光的一半必然到达终点。应用后续比例前，必须先单独计算第一片的影响。
多放一片，反而透出光
对于方向不断变化的非偏振光，理想第一片偏振片平均透过一半光强。把第二片放在90度，模型给出零。现在在两者之间插入一片轴向为45度的偏振片，三片组合的末端便出现光。
比例依次相乘：第一片剩一半，中间片再剩一半，最后一片又剩一半。最终为原始非偏振输入的八分之一，也就是12.5%。中间片吸收了一些光，同时为继续传播的光建立了新的偏振方向，因此改变了最后一片收到的输入。
透得更多，不是创造能量
三片的结果听起来像是插入吸收器却创造了光，其实没有。比较的是两种不同的光路。在交叉的两片中，最后一片拒绝第一片的偏振方向；在三片组合中，到达最后一片的光方向不同，强度也已经减小。
计算中，每一级透过的强度都不超过该级入射强度，输出始终没有超过输入。这提醒我们，不能总把连续操作理解为各部件独立损失某个百分比，而不考虑前面的部件如何改变传递给后面的状态。
真实滤片的边界没那么理想
真实偏振片可能吸收一部分本应通过的分量，也可能漏过一部分本应被挡住的分量。响应还可能随波长和入射角变化。散射、反射，以及场景原本已有的偏振，都可能让纸上简单的实验变复杂。
偏光太阳镜和摄影滤镜使用相关原理，但这个模型不预测具体产品的表现。液晶屏也可能输出偏振光，因此在屏幕前转动滤片，亮度可能剧烈变化。具体方向和效果取决于屏幕，并非所有显示器都服从同一个外观规律。
数字要带着参照一起读
这个练习最有用的地方，是学会把每个比例对应到它的入射光。第一片后一半、下一片后四分之一、第三片后八分之一，是一个特定组合的各个阶段。换一种排列，必须重新核对轴向，不能直接搬用这些数字。
偏振让光束拥有了单看亮度计无法描述的结构。两束同样亮的光，可能因电场方向不同而对同一滤片产生不同响应。把这个隐藏状态考虑进去，多加一片的悖论，就变成普通的投影和光强变化。