圆只能绕圈，几个圆凑在一起，怎么就会拐弯了？
把笔固定在一根旋转的杆末端，得到的是一个圆。再在杆的末端接上一根旋转的杆，笔尖的轨迹就开始变得有趣。如果杆的长度、转速和初始方向配合得恰当，它们甚至能描出一艘火箭。
圆并没有学会画火箭 只是拿到了一份很好的说明书
把一幅画，换成一段运动
先别管火箭，想象一个小光点沿着它的边缘走完一圈。每个时刻，光点都有一个横坐标和一个纵坐标。把这两个数随时间的变化记下来，就记录了整段旅程。
傅里叶分析换了一个问法：能不能把这段旅程拆成一些更简单的运动？这里的简单运动就是旋转。每根旋转的箭头都贡献一点水平和垂直位移，把它们加起来，末端的位置就落在画面中的某个点上。
这与把一个和弦分解成单独的音符有些相似。只不过这里分解的不是声音，而是一条路径。画还是那幅画，只是我们换了一种描述它的方法。
每个圆只需要三条指令
半径决定它贡献的大小。频率决定笔尖走完一圈时，它要转多少圈。初始角度决定它从哪个方向开始转。有些箭头顺时针转，有些则反过来。
箭头首尾相接，因此后一个圆的圆心，会跟着前一根箭头的末端一起移动。图中的金色光点就是整条链的末端，并不是一个偷偷沿着预设火箭线条行走的独立光点。
此外还有一个固定值，负责把整条链放到画面的合适位置。它是所有采样点的平均位置，不需要旋转。本文所说的“32个圆”，不包括这个固定中心。
八个圆像火箭，三十二个圆有了细节
这次从一条专门绘制的多边形火箭轮廓出发，并不是拿照片来处理。沿着轮廓长度等间隔取1,024个点，再通过快速傅里叶变换，也就是FFT，计算旋转分量。
这里不是只保留转得慢的圆，而是优先保留贡献幅度较大的分量。八个圆已经能让人认出火箭，但两侧的翼很圆润。增加到32个，轮廓的大部分特征都回来了。128个时，尖角也更接近原图。
有趣的不只是“圆越多，细节越多”。更值得留意的是，在细节还没完全回来之前，整体已经很像了。较大的旋转建立大致形状，许多较小的旋转则一起处理那些不好转弯的地方。
真正费力的，是拐角
下图较亮的黄色和粉色区域，表示32个圆重建时较大的位置偏差。鼻尖、两侧的翼和尾部都很明显。直线边缘相对好跟随，突然改变方向的地方，会对有限数量的平滑旋转提出更高要求。
只看平均数，很容易忽略这种区别。32个圆的平均距离偏差，是原轮廓外接矩形对角线的0.232%，最大偏差则是1.314%。前者回答平均差多少，后者回答最差的地方差多少。
这次选定的三组结果逐步变好，但不能理解为每加一个圆，每个点、每种误差都会改善。保留幅度最大的傅里叶分量，可以在固定分量数下最小化采样点处的平方误差。平均距离与视觉观感则不是同一个指标。
| 圆的数量 | 平均偏差 | 最大偏差 |
|---|---|---|
| 8 | 1.550% | 3.976% |
| 32 | 0.232% | 1.314% |
| 128 | 0.025% | 0.275% |
距离均以原轮廓外接矩形对角线的百分比表示，只在1,024个采样位置计算。固定中心另计。
图像背后，是一个很小的想法
把横坐标放进复数的实部，把纵坐标放进虚部。听起来像突然增加了难度，其实只是把两个坐标装在一起，方便计算。复指数恰好能简洁地表达旋转。
重建时，把各个时刻选中的旋转向量加起来，再加回固定中心。下面是计算的核心片段，并非完整绘图程序。
coefficients = np.fft.fft(points) / len(points)
frequencies = np.fft.fftfreq(len(points), d=1 / len(points))
selected = np.argsort(-np.abs(coefficients[1:]))[:32] + 1
rotations = coefficients[selected, None] * np.exp(
2j * np.pi * frequencies[selected, None] * time[None, :]
)
path = coefficients[0] + rotations.sum(axis=0)漂亮，但不是魔法
把它叫作“用32个圆压缩了一张图片”很诱人，但会漏掉不少前提。这里处理的是一条封闭轮廓，保存的是数值系数，也没有比较真实图片文件的体积。它不能替代JPEG、SVG或者AI图像模型。
有限采样也没有还原出一条无限精确的多边形。保留全部分量后，可以在数值精度范围内还原那1,024个采样点；这些点之间的轨迹，是平滑的周期插值。
我更喜欢这个结果所展示的另一件事：一眼看上去是“画”的东西，也可以理解为一组精心配合的运动。火箭从来没有藏在某一个圆里，而是藏在它们的配合里。
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NumPy · Discrete Fourier Transform ↗NumPy · numpy.fft.fft ↗NumPy文档说明了本文采用的变换约定和FFT。以上图像均由文中描述的计算生成。