镜子，是个出奇严格的讲述者

从法线量角度

反射定律比较入射和出射光线相对于法线的角度，法线垂直镜面。理想镜面反射中，这两个角相等。若从表面量，得到的是余角，因此明确基准，可以避免光路图里很常见的混淆。

镜面位于水平线y等于0。光源坐标为−3、2，眼睛坐标为3、3，都在镜面上方。我们要寻找光线从光源反射进眼睛时的镜面交点，假定周围介质均匀、光沿直线传播。

从眼睛反向画线是一种计算方法，不是在说眼睛发出了所见的光。在这套可逆的几何模型里，同一路径可以从任一方向核对。图中同时有实线光路与虚线延长线时，尤其应分清这一点。真正需要到达观察者的是镜前反射光段；延长线用来定位光仿佛来自哪里。

先映射光源，再追踪光线

一个方便的构造，是把虚光源放在−3、−2，与真实光源隔镜面对称。从虚点向眼睛画直线，它在x等于−0.6处穿过镜面。再把真实光源连到这个交点，就得到所需入射光线。

脚本用向量反射公式核对出射方向，两侧相对法线的角度都约50.19度。镜后虚线只是几何延长线。眼睛把出射光解释为来自该点，并不要求光真的穿过镜面到那里。

“位于镜后同样距离”指的是到镜面的垂直距离，并不是虚像离每位观察者都一样远。这里的虚拟点始终在镜面下方两单位，但它到位于 (3, 3) 的眼睛的直线距离是 61 的平方根。眼睛移动时，这段距离与观看方向会改变，虚拟点本身却无需移动，也不需要换成另一个被反射物体。

最短路径，解释同一个点

对于平面镜和均匀传播速度，正确折线路径，也是所有只接触一次镜面的路径中总长度最短的。把一个端点镜像后，折线变成直线，几何更容易看懂。计算长度约7.810距离单位。

路径长度图尝试镜面上的其他交点，最小值出现在等角位置。这是驻定光程思想的一个受限例子，不表示所有光学系统都简单选择几何最短路。折射、多界面和更复杂路径，需要各自的光学分析。

眼睛移动，虚物体不动

最后一图保持眼睛高度和光源不变，只水平移动眼睛。每个位置使用不同镜面点，虚光源仍在同一组镜像坐标。所以即使进入眼睛的光线改变，反射场景仍像镜后稳定存在的空间。

有限镜面还增加可见条件：需要的反射点必须落在真实反射区域内。移动足够远，交点可能越过边缘，物体便从视野消失。镜框无法再容纳必要光路时，虚像位置本身不必改变。

反转，有明确方向

坐标构造翻转垂直镜面的分量，保留平行镜面的坐标。在这个二维例子里，y变号，x不变。这比笼统说镜子交换左右更精确；后者把光学变换，与我们拿自己比较一个想象中面对面的人时的方式混在一起。

真实镜子还会更复杂。玻璃后的反射镀层可能产生微弱附加反射，曲面会改变物像关系。粗糙表面把光散向许多方向，而不是本文单一理想反射方向。这些都不在简洁的平面镜几何内。

可信的倒影，需要一致光路

绘画中，即使镜中物体画得很漂亮，倒影也可能不对。表观位置、可见部分和观察者位置，必须符合相同几何。虚光源构造让我们能在添加材质和戏剧性灯光之前，具体检查这些关系。

有用习惯是把镜子看成对光线的约束，而不是贴在墙上的图片。问观察者在哪里、像看起来在哪里，以及连接线是否经过镜面。镜中世界之所以有说服力，是因为这些答案彼此配合。

二维草图只检查一个截面，通过它并不能保证物体在真实矩形镜中可见。三维构造还必须检查交点是否位于上下边缘之间，以及光路有无被遮挡。不过步骤依然相同：把光源关于镜面反射，连接虚拟点与眼睛，再判断交点是否落在实际镜面边界内。边界属于问题本身，并不是事后添加的装饰框。

找出能装进镜框的观察位置

为镜子指定尺寸：反射线段从 x = −1 延伸到 x = +1。光源保持在 (−3, 2)，眼睛沿高度三的水平线移动。若眼睛的横坐标为 e，连接虚拟光源与眼睛的直线在 x = (2e − 9)/5 处穿过镜面。这个表达式把“移出镜框就看不见”的口头描述，变成可以检验的可见条件。

要求交点在 −1 与 +1 之间，可得眼睛的位置范围为 e = 2 到 e = 7，包括理想化的边界接触。e = 3 时交点仍是 −0.6，能看到该点。e = 0 时需要的交点为 −1.8，在镜子左边；e = 8 时为 +1.4，超出另一边。这些光路符合无限平面的几何，但有限镜子在所需位置并没有反射表面。

新增图把容许的镜面范围与计算出的交点曲线放在一起。布置场景时，这个区别很有用：加宽镜子可以容纳更多观察位置，却不改变虚像的表观深度；移动观察者可以改变可见性，也无需移动虚像。计算把眼睛与光源视为点，忽略遮挡、玻璃厚度和反射强弱。这里允许交点恰在边界，但真实镜框与有大小的瞳孔需要更细的模型。