两支箭头，对接近的理解也会不同

四支箭头，两位合理的冠军

查询向量是 (1, 1)。候选 A 为 (10, 10)，B 为 (1, 0)，C 为 (0.8, 1.2)，D 为 (-1, -1)。A 与查询方向完全相同，但长度是十倍；C 的终点很近，方向略有偏差；D 则指向完全相反的方向。从不同角度看，它们各自都展示了相似或不同的合理含义。

坐标刻意保持简单。实验不需要声称箭头理解语言，只需要让保留大小与忽略大小产生不同的排序。两种排序都能计算并检查，也都不需要训练模型。

欧氏距离偏爱相邻的终点

把向量放在共同起点，欧氏距离测量的是两个终点之间的直线间隔。C 到查询约为 0.2828，B 为 1，D 约为 2.8284，A 约为 12.7279。因此 C 最近。A 虽然方向完全一致，却无法用这个优点抵消终点相距很远的事实。

如果坐标数值的大小很重要，这种比较很合理。假如坐标表示需要匹配的实际数量，去掉尺度就可能把原本想发现的差异也扔掉。欧氏距离还会继承坐标的单位和缩放方式，所以它的意义取决于测量所处的空间。

余弦相似度偏爱一致的方向

余弦相似度把点积除以两个向量长度的乘积。对非零向量，它描述的是夹角关系。A 的分数约为 1，C 约为 0.9806，B 约为 0.7071，D 约为 -1。这次 A 获胜。归一化去掉了大小，因此它多出来的长度不再影响比较。

几个边界很好想象：在这里的实数向量情境中，1 表示同方向，0 表示垂直，-1 表示反方向。负分并不是道德评价，也不是说两个人意见相反，只是输入坐标之间的几何关系。

先归一化，两种看法就联系起来了

把所有非零向量缩放到长度一，图中所有终点都会落在单位圆上。对单位向量，欧氏距离的平方等于二减去两倍余弦相似度。因此，在归一化后的向量上，按欧氏距离从小到大排序，与按余弦相似度从大到小排序是一致的。先前的分歧，来自是否保留原始长度。

这是数学关系，不代表归一化一定适合某个应用。总量可能恰好很有价值。另外，全零向量没有方向可供归一化。实际程序需要明确规定如何处理这种情况，而不是除以零，或悄悄给出一个任意分数，再把它当作有意义的匹配。

扩展计算把单位圆关系变成可核对的数字。归一化后，查询到A、C、B、D的距离分别为0、约0.1971、0.7654和2，顺序与余弦一致。D在单位圆上恰好相反，因此达到最大间隔。归一化没有发现隐藏相似性，而是有意移动端点，让径向大小不再影响它们的分离程度。

分数再高，也需要合适的表示方式

如果表示方法遗漏了你关心的信息，相似度分数也救不回来。只记录词频的文档向量，可能漏掉语序、否定和上下文。学习得到的表示可以捕捉更丰富的关系，但分数仍然需要在实际用途上评估。公式本身无法证明语义理解。

分数的形式也容易引起过度解读。余弦值 0.98 不等于匹配概率 98%。它只是一个余弦值。要把它变成校准过的概率，还需要另外的模型和相关证据。这些小箭头演示的是几何关系，不是搜索引擎或推荐产品的可靠性。

移动原点关系，角度的含义也会变

箭头里还藏着一个选择：箭尾从哪里出发。给查询和所有候选同时加(100, 0)，彼此坐标差不变，所以欧氏距离完全相同，C仍获胜。但余弦此时也选C。端点组成的图形只是整体移动，从零点发出的射线方向却变了。余弦对各向量的正倍数缩放不变，并不对共同平移不变。

原来A与查询夹角为零，C约11.310度，B为45度，D为180度。平移后，A、C、B、D的实测角差分别约4.627、0.115、0.567、1.146度，连D也几乎与查询同向。两次计算都没出错。实验说明，有意义的原点是角度表示定义的一部分；当数字表示位置，而不是相对自然零点的数量时，这一点尤其重要。

先决定哪些信息可以忘掉

选公式前，可以先问：如果把某个对象的整个向量乘以十，它的相似度应不应该变化？如果代表某项重要数量增加十倍，也许应该；如果只是同样组成的文章写得更长，也许不应该。这个问题，比把某种公式当作普遍更先进的方法更有启发。

本地检查确认了同方向、反方向的情况，也确认两种比较产生不同第一名。一个例子无法替所有问题选公式，但能把取舍说清楚：A 在不同尺度上保留查询的模式，C 则更接近查询的终点。哪位应该获胜，取决于任务到底看重哪件事。

实际比较可分开问两个不变性问题：整体大小改变后，答案该不该不变？全部点加相同偏移后，该不该不变？原始欧氏距离通过第二项、不通过第一项；余弦对正倍数通过第一项，却不通过第二项。单项测试都不能证明有用，但能在漂亮分数分散注意前，揭示公式是否尊重应用认为无关的变换。