두 화살표도 가깝다는 뜻에 동의하지 않을 수 있다

화살표 네 개와 그럴듯한 우승자 두 개

질의는 (1, 1)입니다. 후보 A는 (10, 10), B는 (1, 0), C는 (0.8, 1.2), D는 (-1, -1)입니다. A는 질의와 방향이 정확히 같지만 열 배 멀리 뻗습니다. C는 끝점이 가깝지만 방향이 조금 다릅니다. D는 정반대를 향합니다. 비슷하다는 말이 어떤 뜻인지에 따라 각 후보를 바라보는 방식이 달라집니다.

좌표는 의도적으로 단순하게 골랐습니다. 화살표가 언어를 이해한다고 주장할 필요는 없습니다. 크기를 유지하는 비교와 무시하는 비교가 다른 순위를 만드는 상황이면 충분합니다. 두 순위는 직접 계산해 확인할 수 있고, 훈련한 모델도 필요하지 않습니다.

유클리드 거리는 가까운 끝점을 선호한다

유클리드 거리는 같은 시작점에서 놓은 벡터들의 끝점 사이 직선 거리를 측정합니다. 질의에서 C까지는 약 0.2828, B까지는 1, D까지는 약 2.8284, A까지는 약 12.7279입니다. 따라서 C가 가장 가깝습니다. A가 같은 방향을 향한다는 사실은 끝점이 멀다는 점을 보상하지 못합니다.

좌표의 양 자체가 중요할 때는 합리적인 비교입니다. 맞춰야 하는 실제 수량이라면 척도를 버리는 순간 찾고 싶었던 차이도 사라질 수 있습니다. 유클리드 거리는 좌표의 단위와 조정 방식도 그대로 물려받습니다. 그래서 측정하는 공간이 적절해야 거리도 의미가 있습니다.

코사인 유사도는 같은 방향을 선호한다

코사인 유사도는 내적을 두 벡터 길이의 곱으로 나눕니다. 영벡터가 아닌 벡터에서는 둘 사이의 각도를 설명합니다. A는 약 1, C는 약 0.9806, B는 약 0.7071, D는 약 -1입니다. 이번에는 A가 이깁니다. 정규화 과정에서 크기가 제거되므로 더 긴 길이는 비교에 영향을 주지 않습니다.

경계값은 그림으로 이해하기 쉽습니다. 여기의 실수 벡터에서는 1이 같은 방향, 0이 수직, -1이 반대 방향을 뜻합니다. 음수는 도덕적 평가도 아니고 두 사람의 의견이 반대라는 주장도 아닙니다. 주어진 좌표 사이의 기하학적 관계일 뿐입니다.

정규화하면 두 관점이 연결된다

모든 0이 아닌 벡터의 길이를 1로 바꾸면 그림의 끝점들이 단위원 위에 놓입니다. 단위 벡터에서는 유클리드 거리의 제곱이 2에서 코사인 유사도의 두 배를 뺀 값과 같습니다. 따라서 정규화한 벡터를 거리 오름차순으로 정렬하거나 코사인 내림차순으로 정렬하면 같은 순위가 됩니다. 앞선 차이는 원래 길이를 유지할지 결정하는 데서 생겼습니다.

이 관계가 수학적으로 맞는다고 정규화가 모든 응용에 맞는 것은 아닙니다. 총량이 중요한 정보일 수도 있습니다. 또한 모든 성분이 0인 벡터에는 정규화할 방향이 없습니다. 실제 구현에서는 이런 경우의 처리 규칙을 정해야 합니다. 0으로 나누거나 임의의 점수를 의미 있는 결과처럼 제시해서는 안 됩니다.

확장 계산으로 단위원의 관계를 숫자로 확인할 수 있습니다. 정규화한 질의와 A, C, B, D의 거리는 0, 약 0.1971, 0.7654, 2이며 코사인 순서와 같습니다. D는 정반대 끝점이어서 단위원의 최대 간격에 도달합니다. 정규화가 숨은 유사성을 발견한 것이 아니라 반지름 크기가 거리에 기여하지 않도록 끝점을 의도적으로 옮긴 것입니다.

높은 점수에도 유용한 표현이 필요하다

표현 방식에서 중요한 정보가 빠졌다면 유사도 점수가 되살려 주지 못합니다. 단어 수만 기록한 문서 벡터는 어순, 부정 표현이나 맥락을 놓칠 수 있습니다. 학습한 표현은 더 풍부한 관계를 담을 수 있지만, 그 점수 역시 실제 사용할 과제에서 평가해야 합니다. 공식 자체가 의미 이해를 입증하지는 않습니다.

점수의 모양도 과잉 해석을 부릅니다. 코사인 0.98은 자동으로 일치 확률 98퍼센트가 되지 않습니다. 그냥 코사인 값입니다. 보정된 확률로 바꾸려면 별도의 모델과 관련 증거가 필요합니다. 이 화살표 예제는 기하학을 보여 줄 뿐 검색 엔진이나 추천 제품의 신뢰도를 검증하지 않습니다.

원점과의 관계를 옮기면 각도의 뜻도 바뀝니다

화살표에는 꼬리의 출발점이라는 선택도 숨어 있습니다. 질의와 모든 후보에 (100, 0)을 더해 보세요. 좌표 차이는 그대로이므로 유클리드 거리도 같고 C가 계속 이깁니다. 그러나 이제 코사인도 C를 고릅니다. 끝점들의 배치는 통째로 옮겼을 뿐인데 영점에서 뻗는 방향은 달라졌습니다. 코사인은 각 벡터의 양수 배율에는 불변이지만 공통 평행이동에는 그렇지 않습니다.

원래 질의와 A는 0도, C는 약 11.310도, B는 45도, D는 180도입니다. 이동 뒤 A, C, B, D의 측정 각도 차이는 각각 약 4.627, 0.115, 0.567, 1.146도입니다. D조차 거의 같은 방향이 됩니다. 계산 오류가 아니라 의미 있는 영점도 각도 기반 표현의 정의에 속한다는 뜻입니다. 특히 자연스러운 영점에서 잰 양이 아니라 위치를 나타내는 수라면 이 선택이 중요합니다.

무엇을 잊어도 되는지 먼저 정하기

측정법을 고르기 전에 벡터 전체를 열 배로 늘리면 유사도가 달라져야 하는지 물어보세요. 중요한 양이 열 배 늘었다면 달라져야 할 수도 있습니다. 같은 구성의 문서가 길어진 것뿐이라면 그렇지 않을 수도 있습니다. 하나의 측정법을 무조건 더 발전된 것으로 취급하는 것보다 이 질문이 더 많은 것을 드러냅니다.

로컬 검사는 같은 방향과 반대 방향의 경우, 그리고 두 비교의 서로 다른 우승자를 확인합니다. 한 예제로 모든 문제의 측정법을 정할 수는 없습니다. 대신 선택의 의미는 분명하게 드러낼 수 있습니다. A는 다른 크기에서 질의의 패턴을 보존하고, C는 끝점에 더 가깝습니다. 맞는 선택은 과제가 어느 사실을 중요하게 여기는지에 달렸습니다.

실용적인 비교에서는 두 불변성 질문을 나눠 볼 수 있습니다. 전체 크기가 바뀌어도 답이 같아야 하나요? 모든 점에 같은 오프셋을 더해도 같아야 하나요? 원래 유클리드 거리는 둘째를 만족하지만 첫째는 아니고, 코사인은 양수 배율에 대해 첫째를 만족하지만 둘째는 아닙니다. 어느 검사도 유용성을 단독 증명하지는 않습니다. 매끈한 점수에 현혹되기 전에 응용이 무관하다고 여기는 변환을 공식이 존중하는지 드러냅니다.